Βράζουμε τη γίδα σε μια κατσαρόλα και μόλις πάρει την πρώτη βράση αλλάζουμε το νερό και ξεπλένουμε το κρεας στη βρύση (εαν νομίζουμε οτι κρατάει μυρωδιά αλλάζουμε το νερό και σε δεύτερη βράση). Συνεχίζουμε εκ νέου το βράσιμο και προσθέτουμε τις πατάτες, τα κρεμμύδια και τα καρότα. Μόλις το κρέας μαλακώσει το αφαιρούμε μαζί με τα λαχανικά σε ένα ταψάκι. Την κατσαρόλα με το ζουμί από τη βρασμένη γίδα την ξαναβάζουμε στη φωτιά και μόλις αρχίζει να βράζει προσθέτουμε το ρύζι και το βράζουμε μέχρι να μαλακώσει (10 λεπτά περίπου) και το τραβάμε από τη φωτιά. Χτυπάμε τα αυγά με το λεμόνι σε αυγολέμονο και αυγοκόβουμε τη σούπα. Κατά το σερβίρισμα, σε κάθε πιάτο προσθέτουμε ένα κομμάτι γίδα λαχνικά και περιχύνουμε με το ζουμί. Είναι το ίδιο νόστιμη και χωρίς να κάνουμε αυγολέμονο αλλά θα χρειαστεί 1 κουταλιά γλυκού ρίγανη στο μαγείρεμα, 1 πολύ ώριμη ντομάτα λιωμενη, λίγο λεμονάκι παραπάνω και επιπλέον στο σερβίρισμα περιχύνουμε τη σούπα με ελαιόλαδο.